Question

3．已知函数f（x）=-x³+x²+b，若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上的最大值为1，则实数b=$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到函数在[-$\frac{1}{2}$，1]上的单调区间，求出函数的最值，由最大值为1求出b的值．

解答 解：∵f（x）=-x³+x²+b，∴f′（x）=-3x²+2x，由f′（x）=0，得${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{2}{3}$，
∴当0＜x＜$\frac{2}{3}$时，f′（x）＞0；
当x＜0或＞$\frac{2}{3}$时，f′（x）＜0．
∴f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，0]上为减函数，在[$\frac{2}{3}，1$]上为减函数，在[0，$\frac{2}{3}$]上为增函数．
而f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+b=\frac{3}{8}+b$，f（$\frac{2}{3}$）=$-\frac{8}{27}+\frac{4}{9}+b=\frac{4}{27}+b$，且$\frac{3}{8}+b＞\frac{4}{27}+b$，
∴$\frac{3}{8}+b=1$，则b=$\frac{5}{8}$．
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，是中档题．