Question

【题目】设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.

（1）若，求点的坐标；

（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；

（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最小值2，.

【解析】

（1）由抛物线方程以及抛物线定义，根据求出横坐标，代入，即可得出点的坐标；

（2）设，，设直线的方程是：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到，推出恒为钝角，即可得结论成立；

（3）设，则，由得，推出直线的斜率．设直线的方程为，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得．设，则，，由三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果.

（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，

设，由及抛物线定义知，，代入得，

所以点的坐标或

（2）设，，

设直线的方程是：，

联立，消去得：，由韦达定理得，

所以，

故恒为钝角，

故原点总在以线段AB为直径的圆的内部．

（3）设，则，

因为，则，由得，故．

故直线的斜率．

因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程

得，由题意，得．

设，则，，

，

当且仅当，即时等号成立，

由得，解得或（舍），

所以点的坐标为，.