Question

【题目】给定函数、，定义.

（1）证明：；

（2）若，，证明：是周期函数；

（3）若，，，，，证明：是周期函数的充要条件是为有理数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）运用新定义，去绝对值，即可得证；

（2）由正弦函数和余弦函数的周期，即可得证；

（3）运用周期函数的定义，结合和差化积公式，即可得证．

证明：（1）由F（f（x），g（x）），

f（x）≥g（x）时，f（x），

f（x）＜g（x）时，g（x），

则F（f（x），g（x））；

（2）f（x）＝sin2x﹣cosx，g（x）＝sin2x+cosx，

F（f（x），g（x））sin2x+|cosx|，

由F（f（x+π），g（x+π））＝sin（2x+2π）+|cos（x+π）|＝sin2x+|cosx|

＝F（f（x），g（x）），即F（f（x），g（x））是最小正周期为π的周期函数；

（3）f（x）+g（x）是周期函数x∈R，T≠0，f（x+T）+g（x+T）＝f（x）+g（x）恒成立

A1sinω1（x+T）+A2sinω2（x+T）＝A1sinω1x+A2sinω2x，

由A1[sinω1（x+T）﹣sinω1x]+A2[sinω2（x+T）﹣sinω2x]＝0，

可得sinω1（x+T）﹣sinω1x＝0，sinω2（x+T）﹣sinω2x＝0，

即2cos（ω1xω1T）sinω1T＝0，2cos（ω2xω2T）sinω2T＝0，

由x∈R，可得sinω1T＝，sinω2T＝0，

即有ω1T＝kπ，k∈Z；ω2T＝mπ，m∈Z，k，m≠0，

即有为有理数，

可得f（x）+g（x）是周期函数的充要条件是为有理数．