Question

【题目】抛物线的焦点为，是抛物线上关于轴对称的两点，点是抛物线准线与轴的交点，是面积为的直角三角形.

（1）求抛物线的方程；

（2）点在抛物线上，是直线上不同的两点，且线段的中点都在抛物线上，试用表示.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（或）.

【解析】

（1）设出直线的方程，于抛物线联立，求出的坐标，利用的面积为列方程求出的值，进而可得抛物线的方程；

（2）利用是直线上不同的两点,设，表示出的中点坐标，代入抛物线方程，可得以为根的方程，根据判别式和韦达定理用表示出.

解：（1）不妨设点位于第一象限，

则直线的方程为

联立方程，解得

所以.

，解得

故抛物线的方程为

（2）设

的中点坐标为

代入得：

同理可得：

是方程的两个根

解得或.

由韦达定理可得：

则（或）