Question

5．已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n=d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a₁=2，a₂=2，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求d的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，c_n=（-1）ⁿ•b_n，求数列{c_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得a₃=2+d，a₇=2+3d，结合a₁，a₃，a₇成等比数列求得d，可得a_n+2-a_n=2．然后分n为偶数和n为奇数求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把a_n代入b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，再求出${b}_{2n-1}=\frac{（2n）^{2}}{2n•2n}=1$．结合c_n=（-1）ⁿ•b_n，可得${c}_{2n-1}+{c}_{2n}=（-1）^{2n-1}{b}_{2n-1}+（-1）^{2n}{b}_{2n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．则数列{c_n}的前2n项和S_2n可求．

解答 解：（Ⅰ）由已知，a₃=2+d，a₇=2+3d，
∵a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得d=2或d=0（舍）．
于是a_n+2-a_n=2．
当n=2k时，a_n=a_2k=a₂+（k-1）×2=2k=n；
当n=2k-1时，a_n=a_2k-1=a₁+（k-1）×2=2k=n+1．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n，n为偶数}\\{n+1，n为奇数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{4{n}^{2}+4n+1}{4n（n+1）}=1+\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
${b}_{2n-1}=\frac{（2n）^{2}}{2n•2n}=1$．
又c_n=（-1）ⁿ•b_n，
∴${c}_{2n-1}+{c}_{2n}=（-1）^{2n-1}{b}_{2n-1}+（-1）^{2n}{b}_{2n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
于是，${S}_{2n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．