Question

3．已知公差d≠0的等差数列{a_n}满足a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）记S_n为数列{a_n}的前n项和，求使得S_n＞60n+800成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的系统公司即可得出．
（II）S_n=2n²，S_n＞60n+800，化为n²-30n-400＞0，解得n即可得出．

解答 解：（I）若a₁，a₂，a₅成等比数列，则a₁a₅=（a₂）²，即a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²，d≠0．
则2a₁=d，a₁=2，解得d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（II）S_n=$\frac{n（2+4n-2）}{2}$=2n²，
S_n＞60n+800即2n²-60n-800＞0，化为n²-30n-400＞0，解得n＞40．
∴使得S_n＞60n+800成立的最小正整数n的值为41．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．