题目内容

19．设正项等比数列{an}首项a1=2，前n项和为Sn，且满足2a3+S2=4，则满足$\frac{66}{65}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{16}{15}$的最大正整数n的值为6．

分析 先求出公比，再利用等比数列的求和公式，结合不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，2×2q2+2+2q=4
∵q＞0，∴q=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{66}{65}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{16}{15}$，
∴$\frac{66}{65}$＜$\frac{\frac{2（1-{q}^{2n}）}{1-q}}{\frac{2（1-{q}^{n}）}{1-q}}$＜$\frac{16}{15}$
∴$\frac{66}{65}$＜1+$（\frac{1}{2}）^{n}$＜$\frac{16}{15}$，
∴满足$\frac{66}{65}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{16}{15}$的最大正整数n的值为6．
故答案为6．

点评 本题考查等比数列的通项与求和，考查不等式的解法，属于中档题．

练习册系列答案
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6．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x-y-b=0．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为$\sqrt{2}$b，且三角形PF1F2的面积为$\frac{1}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．
10．已知a为实常数，函数f（x）=lnx-ax+1．
（1）若f（x）在（1，+∞）是减函数，求实数a的取值范围；
（2）当0＜a＜1时函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：$\frac{1}{e}$＜x1＜1且x1+x2＞2．（注：e为自然对数的底数）；
（3）证明$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{{n}^{2}-n}{4}$（n∈N*，n≥2）
7．如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是$（2\sqrt{3}，4\sqrt{3}）$．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中0＜α＜$\frac{π}{2}$）与圆C交于O，P两点，与直线l交于点M，射线ON：θ=α-$\frac{π}{2}$与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．
4．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点M（-6，6）；
（2）焦点F在直线l：3x-2y-6=0上．
11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为2π，最小值为-2，且当x=$\frac{5π}{6}$时，函数取得最大值4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，方程f（x）=m+1有解，求实数m的取值范围．
8．在锐角△ABC中，A=60°．
（1）求　sinA+sinB+sinC的取值范围；
（2）求　sinAsinBsinC的取值范围．
9．已知下列四个关系：
①a＞b?ac2＞bc2；
②a＞b⇒$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$；
③a＞b＞0，c＞d⇒$\frac{a}{d}$＞$\frac{b}{c}$；
④a＞b＞0⇒ac＜bc．
其中正确的有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

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