设椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F1.F2.下顶点为B.直线BF2的方程为x-y-b=0．(Ⅰ)求椭圆C的离心率,(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点.P到直线BF2的距离为$\sqrt{2}$b.且三角形PF1F2的面积为$\frac{1}{3}$．(1)求椭圆C的方程,(2)若斜率为k的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，下顶点为B，直线BF₂的方程为x-y-b=0．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF₂的距离为$\sqrt{2}$b，且三角形PF₁F₂的面积为$\frac{1}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F₁，F₂分别作F₁M⊥l，F₂M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|的最大值．

分析（Ⅰ）由直线方程求得F₂（b，0），c=b，则a=$\sqrt{2}$c，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）（1）利用点到直线的距离公式，联立椭圆方程，求得P点坐标，利用三角形的面积公式即可求得b的值，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线斜率k≠0时，代入椭圆方程，由△-0，求得m和k的关系，求得（|F₁M|+|F₂N|）•|MN丨，利用基本不等式的性质即可求得（|F₁M|+|F₂N|）•|MN丨取值范围，当k=0，四边形F₁MF₂N为矩形，（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|=（1+1）×2=4，即可求得（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|的最大值．

解答解：（Ⅰ）由直线BF₂的方程为x-y-b=0．则F₂（b，0），c=b，
则a²=b²+c²=2c²，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆C的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）（1）设P（x₀，y₀），则$\frac{丨{x}_{0}-{y}_{0}-b丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$b，
则x₀-y₀-3b=0，或x₀-y₀+b=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-3b=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，无解，
$\left\{\begin{array}{l}{x-y+b=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}b}\\{y=-\frac{1}{3}b}\end{array}\right.$，
由△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$×2b×$\frac{1}{3}$b=$\frac{1}{3}$．
解得：b=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（2）设直线l：y=kx+m，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，整理得m²=2k²+1，
丨F₁M丨=$\frac{丨m-k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，丨F₂M丨=$\frac{丨m+k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
当k≠0时，则丨MN丨=$\frac{丨{F}_{1}M丨-丨{F}_{2}N丨}{k}$，
则（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|=$\frac{4丨km丨}{（1+{k}^{2}）丨k丨}$=$\frac{4丨m丨}{（1+{k}^{2}）}$=$\frac{4丨m丨}{1+\frac{{m}^{2}-1}{2}}$=$\frac{8}{丨m丨+\frac{1}{丨m丨}}$≤4，
当且仅当丨m丨=1时，取等号，
而k≠0，则丨m丨≠1，因此（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|＜4，
当k=0时，四边形F₁MF₂N为矩形，
此时（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|=（1+1）×2=4，
综上可知：（|F₁M|+|F₂N|）•|MN|的最大值为4．