Question

18．已知抛物线y²=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程，并证明：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值与直线l倾斜角的大小无关；
（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意可知p=2，求得抛物线方程，当直线斜率存在时，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值与直线l倾斜角的大小无关；
（2）利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求得|PT|的最小值，求得d（t）的解析式．

解答 解：（1）由题意可知：准线方程x=-1，则-$\frac{p}{2}$=-1，则p=2，
∴抛物线的标准方程为：y²=4x，
证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x=t，代入y²=4x得，A（t，2$\sqrt{t}$），B（t，-2$\sqrt{t}$），
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=t²-4t，
则若直线l的斜率存在，设其斜率为$\frac{1}{m}$（k≠0），则l的方程为x=my+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4ky-4t=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4t，
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=m²y₁y₂+mt（y₁+y₂）+t²=t²．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=t²-4t，
综上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值t²-4t与直线l倾斜角的大小无关；
（2）设P（x，2$\sqrt{x}$），则丨PT丨²=（x-t）²+（2$\sqrt{x}$-0）²=x²-2（t-2）x+t²，（x＞0），
由二次函数的性质可知：当对称轴x=t-2＜0，即0＜t＜2时，当x=0时，丨PT丨取最小值，最小值为t，
当t-2≥0时，即x=t-2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2$\sqrt{t-1}$，
d（t）的解析式，d（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{t-1}}&{t≥2}\\{t}&{0＜t＜2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．