Question

16．若关于x的方程sin²x-（2+a）sinx+2a=0，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有两个实数根．
（1）设t=sinx，利用三角函数线，求t的取值范围；
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用单位圆，结合三角函数线进行求解即可．
（2）讨论x的取值，得出sinx的取值情况，设sinx=t，转化为求函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-$\frac{1}{2}$，1]上有两个零点，和f（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上有一个零点时a的取值范围．

解答 解：（1）由三角函数线得当x=-$\frac{π}{6}$时，t=sinx取得最小值t=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
当x=$\frac{π}{2}$时，t=sinx取得最大值t=sin$\frac{π}{2}$=1，
则-$\frac{1}{2}$≤t≤1．
（2）：∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，
sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]时，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1）；
设sinx=t，
则t²-（2+a）t+2a=0；
∴当函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-$\frac{1}{2}$，1]上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）≥0}\\{f（1）≥0}\\{△＞0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{2+a}{2}＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥1}\\{a≠2}\\{-3＜a＜0}\end{array}\right.$，
不等式的解集为∅；
当函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[$\frac{1}{2}$，1]上有一个零点时，
f（$\frac{1}{2}$）•f（1）＜0，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1，满足题意；
综上，实数a的取值范围是{a|$\frac{1}{2}$＜a＜1}．

点评 本题考查了求函数的零点的问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了转化思想．