Question

12．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记$S=\frac{梯形的周长}{梯形的面积}$，则S的最小值是$\frac{4\sqrt{6}}{3}+2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，令3-x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值．

解答 解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=$\frac{3-x}{\frac{1}{2}×（x+1）×（1-x）\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{3-x}{1-{x}^{2}}$，（0＜x＜1）
令3-x=t，t∈（2，3），
∴S=$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{t}{6t-8-{t}^{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{t}{6-\frac{8}{t}-t}$$≥\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{1}{6-2\sqrt{8}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}+2\sqrt{3}$，当且仅当t=$\frac{8}{t}$即t=2$\sqrt{2}$时等号成立；
故答案为：$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}+2\sqrt{3}$．

点评 本题的考点是解三角形的实际运用，主要考查函数模型的建立，考查利用基本不等式求最值，关键是依据题意构建函数模型．