Question

已知函数，，其中a∈R．

（1）若0<a≤2，试判断函数h(x)=f (x)+g (x) 的单调性，并证明你的结论；

（2）设函数 若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得p (x1) = p (x2) 成立，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

（1）h (x)为单调减函数．证明：由0<a≤2，x≥2，可得

==．

       由 ，

且0<a≤2，x≥2，所以．从而函数h(x)为单调减函数．  （亦可先分别用定义法或导数法论证函数在上单调递减，再得函数h(x)为单调减函数．）

（2）①若a≤0，由x1≥2，，x2＜2，，

所以g (x1) = g (x2)不成立．                  

②若a＞０，由x＞2时，，

所以p(x)在单调递减．从而，即．

（a）若a≥2，由于x＜２时，，

所以p(x)在(－∞,2)上单调递增，从而，即．

要使p (x1) = p (x2)成立，只需，即成立即可．

由于函数在的单调递增，且q(4)=0，所以2≤a＜4．                           

（b）若0＜a＜2，由于x＜2时，

所以p(x)在上单调递增，在上单调递减．从而，

即．

要使p (x1) = p (x2)成立，只需成立，即成立即可．

由0＜a＜2，得 ．故当0＜a＜2时，恒成立．      

综上所述，a的取值范围为（0，4）．