Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C是正方体的一条面对角线．现有下列命题：
①过B₁C且与BD平行的平面有且只有一个；
②过B₁C且与BD垂直的平面有且只有一个；
③B₁C与平面A₁C₁CA所成的角等于30°；
④与B₁C所成角为60°的面对角线共有8条．
上述命题中，正确的是

3

．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：由正方体的几何特征，我们根据线面平行的判定方法及几何特征，可以判断①的真假；根据线面垂直的判定方法及几何牲，可以判断②的真假；根据线面夹角的定义及其求法，可以判断③的真假；根据异面直线及其夹角公式，可以判断出④的真假，进而得到答案．

解答：解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C是正方体的一条面对角线．
则过B₁C且与BD平行的平面有且只有B₁CD₁一个，故①正确；
∵B₁C与BD的夹角为60°，故过B₁C且与BD垂直的平面不存在，故②错误；
B₁C与平面A₁C₁CA所成的角等于30°，故③正确；
与B₁C所成角为60°的面对角线共有8条，故④正确．
故答案为：3

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面平行，线面垂直的判定，线面夹角，异面直线的夹角，熟练掌握正方体的几何特征是解答本题的关键．