Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（1）求f（x）的振幅和最小正周期；
（2）求当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域；
（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）可得f（x）的振幅和最小正周期；
（2）x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，于是可求sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，继而可得函数f（x）的值域；
（3）利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递减区间．

解答： （本题满分8分）
解：（1）∵f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∴振幅为2，最小正周期为π…（2分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]∴f(x)∈[-1，2]…（5分）
（3）∵

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
∵x∈[-π，π]∴当k=0，x∈[

π

6

，

2π

3

]，当k=-1，x∈[-

5π

6

，-

π

3

]
∴f(x)的减区间是[

π

6

，

2π

3

]，[-

5π

6

，-

π

3

]…（8分）

点评：本题考查三角函数的周期性、单调性及最值质及其求法，着重考查正弦函数的性质及运算求解能力，属于中档题．