Question

如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.

（1）求证：；

（2）求点的距离；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明见解析，（2），（3）

【解析】

试题分析：如何用平面侧面？由面面垂直的性质定理，过作，垂足为，可知，有，又，则，于是即可；第二步求点到直线的距离有两种方法：（1）利用体积相等，（2）利用空间向量的坐标运算，直接求法向量，用公式；第三步求二面角的平面角的余弦值可运用求法向量的方法求之.

试题解析：（1）证明：如右图，过作，垂足为，因平面侧面， 且平面侧面，可知，有，又，，则,又平面，所以.因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则底面，所以.又,从而侧面，又侧面，故

.

（2）由（1）知，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， ，

又由线段上分别有一点，满足，所以，，

所以,

所以点的距离.

（3）设平面 的法向量为，易知平面 的法向量可以为.由，令，则，可得平面 的一个法向量可为，设与的夹角为.则，易知二面角的平面角为钝角，故应为角的补角，所以其余弦值为.

考点：1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化；2.求点到平面距离；3.二面角；