Question

19．已知函数f（x）=$\frac{ax}{x+1}$，函数g（x）的图象是由y=1n$\frac{1}{x-2}$的图象往左平移3个单位形成；令F（x）=f（x）-g（x）．（I）讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：g（x）=ln$\frac{1}{x+1}$．F（x）=$\frac{ax}{x+1}$-ln$\frac{1}{x+1}$．（x＞-1）．F′（x）=$\frac{x+1+a}{（x+1）^{2}}$，对a分类讨论即可得出单调性．
（II）?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立?ln（1+x）＞x-x²，x∈（0，1]．令G（x）=ln（1+x）-x+x²，G（0）=0．利用研究其单调性即可证明．

解答 （I）解：函数g（x）的图象是由y=1n$\frac{1}{x-2}$的图象往左平移3个单位形成，∴g（x）=ln$\frac{1}{x+1}$．
F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{ax}{x+1}$-ln$\frac{1}{x+1}$．（x＞-1）．
F′（x）=$\frac{a}{（x+1）^{2}}$+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x+1+a}{（x+1）^{2}}$，
①a≥0时，F′（x）＞0，函数F（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②a＜0时，-1＜x＜-a-1时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；
x＞-a-1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
综上可得：①a≥0时，函数F（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②a＜0时，-1＜x＜-a-1时，函数F（x）单调递减；x＞-a-1，函数F（x）单调递增．
（II）证明：?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立?ln（1+x）＞x-x²，x∈（0，1]．
令G（x）=ln（1+x）-x+x²，G（0）=0．
G′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+2x=$\frac{2{x}^{2}+x}{1+x}$＞0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0．
因此ln（1+x）＞x-x²恒成立，x∈（0，1]．
∴：?_n∈N^*，1n（n+1）+$\frac{1-n}{{n}^{2}}$＞1nn恒成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．