Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=2a_n，设b_n-2=3log₂a_n（n∈N₊）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n-b_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义和对数的运算性质即可求出{b_n}的通项公式，
（Ⅱ）根据数列的特点，需要分段求和，根据等差数列和等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，
∵b_n-2=3log₂a_n，
∴b_n=3log₂2^n-1+2=3n-1，
（Ⅱ）∵{a_n}中的各项分别为：1，2，4，8，16，…，2^n-1，
{b_n}中的各项分别为2，5，8，11，14，…3n-1，
∴当n≤4时，S_n=$\sum_{i=1}^{n}$||a_i-b_i|=$\sum_{i=1}^{n}$（3i-1-2^i-1）=$\frac{3{n}^{2}+n+2}{2}$-2ⁿ，
当n＞4时，S_n=$\sum_{i=1}^{n}$||a_i-b_i|=|1-2|+|2¹-5|+|2²-8|+|2³-11||+|2⁴-14|+…+|2^n-1-（3n-1）|=1+3+4+3+2⁴-14+…+2^n-1-（3n-1）
=11+$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{n-4}）}{1-2}$-14（n-4）-3×$\frac{（n-5）（n-4）}{2}$，
=2ⁿ-$\frac{3{n}^{2}+n-42}{2}$
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+n+2}{2}-{2}^{n}，n≤4}\\{{2}^{n}-\frac{3{n}^{2}+n-42}{2}，n＞4}\end{array}\right.$

点评 本题考查了等比数列的定义和通项公式的求法，和等比数列和等差数列的求和公式，属于中档题．