Question

10．关于x的方程2^2x-（m-1）2^x+2=0在x∈[0，2]时有唯一解，求m取值范围．

Answer 1

分析 令2^x=t，在方程t²-（m-1）t+2=0在[1，4]上有唯一解，对判别式和区间端点值进行讨论，利用二次函数的性质和零点的存在性定理得出a的范围．

解答 解：令2^x=t，则t∈[1，4]，
∴方程t²-（m-1）t+2=0在[1，4]上有唯一解．
（1）若△=（m-1）²-8=0，即m=1±2$\sqrt{2}$时，
若m=1+2$\sqrt{2}$，则t=$\sqrt{2}$，符合题意，
若m=1-2$\sqrt{2}$，则t=-$\sqrt{2}$，不符合题意．
（2）若△=（m-1）²-8＞0，即m＜1-2$\sqrt{2}$或m＞1+2$\sqrt{2}$时，
若t=1是方程的解，由根与系数的关系可知t=2也是方程的解，与方程在[1，4]上有唯一解矛盾；
若t=4是方程的解，由根与系数的关系可知t=$\frac{1}{2}$也是方程的解，符合题意；
此时m-1=4+$\frac{1}{2}$，∴m=$\frac{11}{2}$．
若方程的解在（1，4）上，根据零点的存在性定理可知（4-m）（22-4m）＜0，
解得4＜m＜$\frac{11}{2}$．
综上，m的取值范围是（4，$\frac{11}{2}$]∪{1+2$\sqrt{2}$}．

点评 本题考查了二次函数的性质，零点的存在性定理，属于中档题．