Question

14．若点P到定点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点A（2，4），为使|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标及|PA|+|PF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），利用点P到定点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，列出方程求解即可．
（2）求出抛物线的准线方程是x=-4．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义，得到|PA|+|PF|=|PA|+d，使|PA|+|PF|最小，最小值是A点到准线的距离6，然后求解即可．

解答 解：（1）设P（x，y），则点P到定点F（4，0）的距离是$\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}$，它到直线x+5=0的距离是|x+5|，
所以 $\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=|x+5|-1   化简得，y²=16x，
  因此点P的轨迹方程是：y²=16x   …．（5分）
（2）由（1）得，抛物线的准线方程是x=-4．
设P到准线的距离为d，由抛物线的定义知，
|PA|+|PF|=|PA|+d   从A点向准线作垂线交抛物线于P，
那么它使|PA|+|PF|最小，最小值是A点到准线的距离6
因此P点的纵坐标是4，代入抛物线方程得它的横坐标是1
所以点P的坐标（1，4），|PA|+|PF|的最小值是6  …（12分）

点评 本题考查差的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．