Question

10．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），且f（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，f（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{12}{13}$，求f（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知函数f（x），得出A的值，再根据函数图象过点M，求出φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（2）根据α，β的取值范围，利用同角的三角函数关系与两角差的余弦公式，即可求出f（α-β）的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，
∴A=1；
又其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}}$），
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，或$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，或φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$；
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；…（4分）
（2）∵α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），
且f（α+$\frac{2π}{3}$）=cos（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
f（β-$\frac{π}{3}$）=cos（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{12}{13}$＞0，
∴α+$\frac{2π}{3}$∈（$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{3}$），
β-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（α+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，sin（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，
∴f（α-β）=cos（α-β）
=-cos[（α+$\frac{2π}{3}$）-（β-$\frac{π}{3}$）]
=-cos（α+$\frac{2π}{3}$）cos（β-$\frac{π}{3}$）-sin（α+$\frac{2π}{3}$）sin（β-$\frac{π}{3}$）
=-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$-（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$
=-$\frac{16}{65}$…12分

点评 本题考查了同角的三角函数关系与两角差的余弦公式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．