Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）.

【解析】

（1）确定函数定义域并求出导数，令，得导数的零点，根据导数的两零点的与定义域的位置关系，分类讨论函数的单调区间，即可得出答案;

（2）构造新函数，分两类情况讨论：①当时符合题意；②当时对函数求导，确定其在定义域范围最小值 ，又将恒成立,化简为恒成立，根据的单调性，确定最小值；由得，令函数，根据其在区间的单调性确定的范围；综合两种情况即可得出实数的取值范围.

解：（1），定义域，

，

令，则，，，∵，∴.

①当，即时，在递减，递增.

②当，即时，在递增，递减，递增.

综上，当时，的递减区间为，递增区间为，

当时，的递减区间为，递增区间为，.

（2）由题意，令定义域，

①当时，符合题意，

②当时，，令.

∵，∴，则该方程有两不同实根，且一正一负，

即存在，使得，

可知时，，时，，

∴ ，

∴恒成立 ，即，

∵在上单调递增，∴，

由得，

设，则，故在单调递减，

∴即为的范围.

综上所述，实数的取值范围是.