Question

【题目】已知二次函数满足，且的最小值是.

（1）求的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有唯一实数根，求实数的取值范围；

（3）函数，对任意都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） (2) （3）

【解析】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.

解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.

（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.

（3）由题意知.

假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.

当时， 在上为增函数， ，所以；

当时， ， .即，解得，所以.

当时，

即解得.所以.

当时， ，即，所以，综上所述， ，

所以当时，使得对任意都有成立.