Question

已知命题p：方程x²+2x+a=0有两个相异的实根；q：函数f（x）=2^x-ax-2有两个零点，且p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：方程x²+2x+a=0有两个相异的实根，可得△＞0，解得a；q：函数f（x）=2^x-ax-2有两个零点，可得函数y=2^x与y=ax+2有两个不同的交点，解得a＞0．由于p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命题p：方程x²+2x+a=0有两个相异的实根，∴△=4-4a＞0，解得a＜1；
q：函数f（x）=2^x-ax-2有两个零点，∴函数y=2^x与y=ax+2有两个不同的交点，∴a＞0．
∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．
∴当p真q假时，

a＜1 a≥0

，解得0≤a＜1．
当q真p假时，

a≥1 a＞0

，解得1≤a．
综上可得：a的取值范围是[0，1）∪[1，+∞）．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、一元二次方程有实数根与判别式的关系、函数的零点转化为函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．