Question

设点M在曲线y=e^x上，点N在曲线y=1-

1

x

（x＞0）上，则|MN|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y=e^x上的点关于y=x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y=lnx上的点与y=1-

1

x

（x＞0）上的点到直线y=x的距离之和最小问题，而与y=x平行的直线同时与曲线y=lnx和y=1-

1

x

（x＞0）切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y=x距离的2倍．

解答： 解：曲线y=e^x与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
设函数f（x）=lnx-（1-

1

x

），则f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）=0，
∴当x＞0时，除（1，0）点外函数y=lnx的图象恒在y=1-

1

x

的上方，在（1，0）处两曲线相切．
求曲线y=e^x上的点M与曲线y=1-

1

x

（x＞0）上的点N的距离的最小值，可看作是求曲线y=lnx上的点M′与N点到直线y=x的距离的最小值的和，而函数y=lnx与y=1-

1

x

（x＞0）在x=1时的导数都是1，说明与直线y=x平行的直线与两曲线切于同一点（1，0），则MN的距离的最小值为（1，0）点到直线y=x距离的2倍，
∴|MN|的最小值为2•

1

1+1

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：：本题考查了两点间的距离，考查了数形结合的解题思想，考查了数学转化思想，解答此题的关键是分析得到函数y=lnx的图象除（1，0）点外恒在y=1-

1

x

的上方，且在（1，0）处两曲线相切．此题属于中档题．