Question

6．已知函数f（x）=（λx+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值； 
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：$\frac{f（x）}{x-1}＞0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx-x+1，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f（x）取最大值；
（Ⅱ）求导，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx-x-1＜0，分类当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x-1=xlnx+（lnx-x+1）＜0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx-x（ln$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$+1）＞0，可知$\frac{f（x）}{x-1}＞0$．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），
当λ=0，f（x）=lnx-x+1，
求导，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令f′（x）=0，解得：x=1，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，
（Ⅱ）证明：求导，f′（x）=λlnx+$\frac{λx+1}{x}$-1，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，即λ=1，
∴f（x）=（x+1）lnx-x+1，
由（Ⅰ）可知，lnx-x-1＜0（x≠1），
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x-1=xlnx+（lnx-x+1）＜0，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$＞0，
当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx-x（ln$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$+1）＞0，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$＞0，
综上可知：$\frac{f（x）}{x-1}$＞0．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查导数的几何意义及两直线垂直的充要条件，考查转化思想，属于中档题．