Question

16．已知$sin（π-α）=\sqrt{2}cos（\frac{3π}{2}+β）$和$\sqrt{3}cos（-α）=-\sqrt{2}cos（π-β）$，0＜α＜π，0＜β＜π，求α，β的值．

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式进行化简，然后利用特殊角的三角函数求解即可．

解答 解：∵知$sin（π-α）=\sqrt{2}cos（\frac{3π}{2}+β）$和$\sqrt{3}cos（-α）=-\sqrt{2}cos（π-β）$，
∴sinα=$\sqrt{2}$sinβ和$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，
两式平方相加得sin²α+3cos²α=2，
即2cos²α=1，cos²α=$\frac{1}{2}$，
∴cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜α＜π，∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
当α=$\frac{π}{4}$时，$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$cosβ，即cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则β=$\frac{π}{6}$．
当α=$\frac{3π}{4}$时，$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$cosβ，即cosβ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则β=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数值的求解，利用两角和差的正弦和余弦公式，以及同角的三角函数关系是解决本题的关键．