Question

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x； ③f（x）=

1

x

；④f（x）=ln|x|，其中是“保等比数列函数”的序号为（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：根据新定义，结合等比数列性质a_na_n+2=a_n+1²，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；
通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④．

解答： 解：由等比数列性质知a_na_n+2=a_n+1²，
①f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故正确；
②f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故不正确；
③f（a_n）f（a_n+2）=

1

an

•

1

an+2

=

1

an+12

=f²（a_n+1），故正确；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|a_n+1|²=f²（a_n+1），故不正确；
故选C．

点评：本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．