Question

用定义证明：已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）证明函数f（x）=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数，
（2）求函数f（x）=x+

1

x

在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的定义法即可证明函数f（x）=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数，
（2）根据函数的单调性的性质即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＜0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f(x)=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数．
（2）∵函数f(x)=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数．
∴函数f（x）=x+

1

x

在区间[2，6]上也是增函数，
则函数的最小值为f（2）=2+

1

2

=

5

2

，
函数的最大值为f（6）=6+

1

6

=

37

6

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及函数最值的求解，利用定义法是解决本题的关键．