Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AB=4，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．
（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；
（2）若点N为线段CE的中点，EC=2，FD=3，求证：MN∥平面BEF．

Answer 1

分析 （1）证明四边形BCDM是菱形，对角线BD⊥CM，再证明FD⊥CM，即可证明CM⊥平面BDF，从而得平面CFM⊥平面BDF；
（2）过点N作NP∥EF，交DF与点P，连接PM，证明平面PMN∥平面BEF，即可证明MN∥平面BEF．

解答 解：（1）证明：直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC=2，AB=4，且M是AB的中点，
∴BM=CD，∴四边形BCDM是平行四边形，
又BC=CD=2，∴平行四边形BCDM是菱形；
∴BD⊥CM，
又FD⊥底面ABCD，CM?平面BCDM，∴FD⊥CM，
且FD∩BD=D，
∴CM⊥平面BDF，
有CM?平面CFM，
∴平面CFM⊥平面BDF；
（2）过点N作NP∥EF，交DF与点P，连接PM，如图所示；

∵EC∥FD，∴四边形EFPN是平行四边形，
又点N为线段CE的中点，EC=2，FD=3，
∴FP=$\frac{1}{2}$EC=1，
PD=EC=2，
∴PE∥CD，且PE=CD，
又BM∥CD，且BM=CD，
∴BM∥PE，且PE=BM，
∴四边形BEPM为平行四边形，
∴PM∥BE；
又PM?平面BEF，BE?平面BEF，∴PM∥平面BEF；
同理，PM∥平面BEF，
又PM∩PN=P，PM?平面PMN，PN?平面PMN，
∴平面PMN∥平面BEF，
又MN?平面PMN，∴MN∥平面BEF．

点评 本题主要考查了线面平行，面面平行与垂直的应用问题，解题时应熟记空间中的平行关系与垂直关系的相互转化，是中档题目．求解