Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，且 c=2，$∠C=\frac{π}{3}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理两角和的正弦公式，sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，根据角的范围求出得A=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$，分类讨论，分别求出直角三角形边长，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（$\frac{2π}{3}$-2A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin$\frac{2π}{3}$cos2A-cos$\frac{2π}{3}$sin2A=2sin2A，
∴$\frac{3}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{1}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$
当A=$\frac{π}{6}$时，B=$\frac{π}{2}$，
∵c=2，
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当A=$\frac{π}{2}$时，B=$\frac{π}{6}$，
∵c=2，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
综上所述△ABC的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和差的正弦公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．