Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左，右焦点分别是F₁，F₂，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F₂的弦，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$．
（i）求△PF₁Q的周长；
（ii）求△PF₁Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，可得a=2，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-c²=b²，解出即可得出．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．线段PQ是椭圆C过点F₂的弦，则△PF₁Q的周长=4a．
（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，于是${S}_{△{F}_{1}PQ}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，|PF₁|+|PF₂|=2a=3+1=4，可得a=2，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-c²=b²，可得c=1，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．
线段PQ是椭圆C过点F₂的弦，则△PF₁Q的周长=4a=8．
（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，
且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{4×9}{3{m}^{2}+4}}$=12$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$．
于是${S}_{△{F}_{1}PQ}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=12$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$，设m²+1=t≥1．
∵$\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{t}{（3t+1）^{2}}$=$\frac{1}{9t+\frac{1}{t}+6}$≤$\frac{1}{16}$，
∴S_△F1PQ≤3，
所以内切圆半径r=$\frac{2S△{F}_{1}PQ}{8}$≤$\frac{3}{4}$，此时m=0，λ=1．
因此其面积最大值是$\frac{9}{16}$π．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、三角形内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．