Question

关于函数f（x）=e 

|x|

x2+1

（x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称，
②在区间（0，+∞）上，函数y=f（x）是减函数，
③函数f（x）的最小值是e 

1

2

，
④在区间（-∞，-1）上，函数f（x）是增函数，
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：易知该函数是偶函数，所以只需先研究当x∈[0，+∞）函数f（x）的性质，然后根据单调性与奇偶性之间的关系转化即可，对于②③④，都涉及到了函数的单调性，利用导数进行计算和判断即可．

解答： 解：由已知，函数f（x）=e 

|x|

x2+1

的定义域为R，又因为f（-x）=e

|-x|

(-x)2+1

=e 

|x|

x2+1

=f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以①正确；
当x＞0时，f（x）=e

x

x2+1

，所以f′（x）=e

x

x2+1

(

x

x2+1

)′=e

x

x2+1

1-x2

(x2+1)2

，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上是增函数，令f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数，所以②不对；
因为f（x）是偶函数，所以函数f（x）在（0，+∞）上的最大值就是其在定义域上的最大值，由刚才计算可知f（x）_max=f(1)=e

1

2

，所以③不对；
由刚才的计算可知，f（x）在（1，+∞）上是减函数，由偶函数的性质（偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反）可知，在区间（-∞，-1）上，函数f（x）是增函数，所以④正确．
故答案为：①④

点评：对于奇函数或偶函数，可以先研究其关于原点对称的一半区间上的性质，再利用其“对称性”将得到的性质进行转化，例如此题考查了偶函数的单调性、最值的性质．