Question

10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，焦距为12$\sqrt{2}$．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）一双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=3•2b}\\{2c=12\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，即可得出．
（2）由（1）可得：椭圆的焦点$（±6\sqrt{2}，0）$，顶点（±9，0），设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，（a₁，b₁＞0）．c₁为半焦距．由题意即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵长轴长是短轴长的3倍，焦距为12$\sqrt{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=3•2b}\\{2c=12\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得c=6$\sqrt{2}$，b²=9，a²=81．
∴$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）由（1）可得：椭圆的焦点$（±6\sqrt{2}，0）$，顶点（±9，0），
设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，（a₁，b₁＞0）．c₁为半焦距．
∴a₁=6$\sqrt{2}$，c₁=9．
∴${b}_{1}^{2}$=${9}^{2}-（6\sqrt{2}）^{2}$=9．
∴此双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{72}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．