Question

在底面半径为2

2

，母线长为2

3

的圆锥中内接一个正四棱柱．若正四棱柱恰为正方体．
（1）求正方体的表面积和体积；
（2）求四棱柱的侧面积最大时，该四棱柱的底面边长为多少？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）设正方体的边长为x，作出圆锥的轴截面；通过三角形相似解答；（2）类似于（1）分析解答．

解答： 解：∵圆锥的底面半径为2

2

，母线长为2

3

，
∴圆锥的高为

12-8

=2；
（1）设正方体的边长为x，作出圆锥的轴截面；
则由三角形相似可得，

2 x 2

2 2

=

2-x

2

，
解得，x=

4

3

．
则S=6•x²=

32

3

，
V=x³=

64

27

．
（2）设四棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则有

2 x 2

2 2

=

2-y

2

，
则y=2-

x

2

，
S_侧=4x×y=4x（2-

x

2

）=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
则当x=2时，S_侧有最大值．
即四棱柱的侧面积最大时，该四棱柱的底面边长为2．

点评：本题考查了利用几何体的轴截面分析量的等量关系，注意不同量的转化．