题目内容
7．点F（c，0）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆（x-$\frac{c}{3}$）2+y2=$\frac{{b}^{2}}{9}$相切于点Q，且$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，则双曲线的离心率是（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 2 |
分析 根据题意，设双曲线的左焦点为F1，分析可得PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a+b，由此可得b=2a，由双曲线的几何性质可得有c=$\sqrt{5}$a，结合双曲线的离心率公式计算可得答案．
解答 解：根据题意，设双曲线的左焦点为F1，连接F1，
设圆的圆心为C，圆的方程为（x-$\frac{c}{3}$）2+y2=$\frac{{b}^{2}}{9}$的圆心为（$\frac{c}{3}$，0），半径r=$\frac{b}{3}$，
则有|F1F|=3|FC|，
若$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，则PF1∥QC，|PF1|=b，|PF|=2a+b；
线段PF与圆（x-$\frac{c}{3}$）2+y2=$\frac{{b}^{2}}{9}$相切于点Q，则CQ⊥PF以及PF1⊥PF，
则有b2+（2a+b）2=4c2，
即b2+（2a+b）2=4（a2+b2），
即b=2a，
由双曲线的性质有c=$\sqrt{5}$a，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故选：C．
点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析双曲线、直线与圆的关系．
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19．
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如图，A、B分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$两渐近线上的点，A、B在y轴上的射影分别为A1、B1，M、N分别是A1A、B1B、的中点，若AB中点在双曲线上，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）| A． | $（{1，\frac{3}{2}}]$ | B． | $[\frac{3}{2}，+∞）$ | C． | $（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$ | D． | $[\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$ |
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