Question

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．
（1）求tanB及边长a的值；
（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由acosB=4，bsinA=3，两式相除，结合正弦定理可求tanB=$\frac{3}{4}$，又acosB=4，可得cosB＞0，从而可求cosB，即可解得a的值．
（2）由（1）知sinB=$\frac{3}{5}$，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB=4，bsinA=3，
两式相除，有$\frac{4}{3}$=$\frac{acosB}{bsinA}$=$\frac{a}{sinA}$•$\frac{cosB}{b}$=$\frac{b}{sinB}$•$\frac{cosB}{b}$=$\frac{1}{tanB}$，
所以tanB=$\frac{3}{4}$，
又acosB=4，
故cosB＞0，则cosB=$\frac{4}{5}$，
所以a=5． …（6分）
（2）由（1）知sinB=$\frac{3}{5}$，
由S=$\frac{1}{2}$acsinB，得到c=6．
由b²=a²+c²-2accosB，得b=$\sqrt{13}$，
故l=5+6+$\sqrt{13}$=11+$\sqrt{13}$
即△ABC的周长为11+$\sqrt{13}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．