Question

已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成。
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e₂的坐标之间的关系。
（3）求直线在矩阵M的作用下的直线的方程．

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）设M=，则=8=，故
=，故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为，故其另一个特征值为。设矩阵M的另一个特征向量是e₂，则M e₂=，解得。
（3）设点是直线上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为，则
=，即，代入直线的方程后并化简得,
即。