Question

12．已知函数f（x）=（x-1）lnx+1．
（1）求f′（e）（e为自然对数的底数）；
（2）求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（3）若函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，证明：g（x）＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（e）即可；
（2）计算f（e），f′（e），求出切线方程即可；
（3）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证明结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+（x-1）$\frac{1}{x}$，
故f′（e）=lne+（e-1）$\frac{1}{e}$=2-$\frac{1}{e}$；
（2）f（e）=（e-1）lne+1=e，f′（e）=2-$\frac{1}{e}$，
故切线方程是：y-e=（2-$\frac{1}{e}$）（x-e），
即（2-$\frac{1}{e}$）x-y-e+1=0；
（3）证明：g（x）=$\frac{（x-1）lnx+1}{x}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e²，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e²，
故g（x）在（0，e²）递减，在（e²，+∞）递增，
故g（x）_min=g（e²）=2-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，
故g（x）＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．