Question

7．如图，设直线l：y=k（x+$\frac{p}{2}$）与抛物线C：y²=2px（p＞0，p为常数）交于不同的两点M，N，且当k=$\frac{1}{2}$时，弦MN的长为4$\sqrt{15}$．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B（1，-1），求证：直线NQ过定点．

Answer 1

分析 （1）根据弦长公式即可求出答案；
（2）由（1）可知MN的方程为直线l：y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky²-4y+4k=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），则y₁y₂=4，直线MB的方程为y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$，（x-1），可得y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0，直线QN的方程为y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂），可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，即可得出直线QN过定点．

解答 解：（1）当k=$\frac{1}{2}$时，联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{p}{4}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消y可得4x²+28px+p²=0，
∴x₁+x₂=7p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=49p²-p²=48p²，
∵弦MN的长为4$\sqrt{15}$．
∴|MN|²=（1+$\frac{1}{4}$）（x₁-x₂）²=$\frac{5}{4}$×48p²=16×15，
即p²=4，即p=2，
∴y²=4x；
（2）：由（1）可知MN的方程为直线l：y=k（x+1）代入抛物线的方程，可得ky²-4y+4k=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），则y₁y₂=4，
由k_MQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{3}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$，
直线MB的方程为y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x-1），
∴y₁+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x₁-1），
可得y₁=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴$\frac{4}{{y}_{2}}$=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0，
直线QN的方程为y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂），
可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，
∴x=1，y=-4，
∴直线QN过定点（1，-4）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．