Question

无穷数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）作函数f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知p=1，或a₁=0．a₁+a₂=S₂=2pa₂．a₁=a₂，矛盾．故不可能是：a₁≠0，且p=1．由a₁=0，得a₂≠0．再由a₁+a₂=S₂=2pa₂，能够得到．
（2），，．（n-1）a_n+1=na_n．由此能够导出对一切n∈N^*有：a_n=（n-1）a₂．
（3）f（x）=x+2x²++nxⁿ．．．再用错位相减法进行求解．
解答：解：（1）∵a₁=S₁=pa₁∴a₁≠0，且p=1，或a₁=0．
若是a₁≠0，且p=1，则由a₁+a₂=S₂=2pa₂．
∴a₁=a₂，矛盾．故不可能是：a₁≠0，且p=1．由a₁=0，得a₂≠0．
又a₁+a₂=S₂=2pa₂，∴．

（2）∵，，
∴．（n-1）a_n+1=na_n．
当k≥2时，．
∴n≥3时有=．
∴对一切n∈N^*有：a_n=（n-1）a₂．

（3）∵，
∴a₂=1． a_n=n-1（n∈N^*）．
故f（x）=x+2x²++nxⁿ．
∴．
又+1．
∴2•=＜．
故．
点评：本题考查数列和不等式的合理应用，解题时要认真审题，注意观察能力的培养．