Question

已知无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=A

a

2 n

+Ban+C，其中A、B、C是常数．
（1）若A=0，B=3，C=-2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若A=1，B=

1

2

，C=

1

16

，且a_n＞0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{a_n}是公比不为-1的等比数列．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1 ，n≥2

，结合等比数列的性质能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1 ，n≥2

，结合题设条件进行因式分解，得到{a_n}是等差数列，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．
（3）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，分别讨论当q=1，q≠±1，q≠0时的情况，由此入手能够求出结果．

解答：解：（1）∵Sn=A

a

2 n

+Ban+C，A=0，B=3，C=-2，
∴S_n=3a_n-2，
∴当n=1时，a₁=3a₁-2，解得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，
整理，得2a_n=3a_n-1，
∴

an

an-1

=

3

2

，
∴an=(

3

2

)n-1．
（2）∵Sn=A

a

2 n

+Ban+C，A=1，B=

1

2

，C=

1

16

，
∴Sn=

a

2 n

+

1

2

an+

1

16

，
∴当n=1时，a1=

a

2 1

+

1

2

a1+

1

16

，解得a1=

1

4

，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

a

2 n

-

a

2 n-1

+

1

2

an-

1

2

an-1
整理，得(an+an-1)(an-an-1-

1

2

)=0，
∵a_n＞0，∴an-an-1=

1

2

，
∴{a_n}是首项为

1

4

，公差为

1

2

的等差数列，
∴Sn=

n

4

+

n(n-1)

4

=

n2

4

．
（3）若数列{a_n}是公比为q的等比数列，
①当q=1时，a_n=a₁，S_n=na₁
由Sn=A

a

2 n

+Ban+C，得na1=A

a

2 1

+Ba1+C恒成立
∴a₁=0，与数列{a_n}是等比数列矛盾；
②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn-1，Sn=

a1

q-1

qn-

a1

q-1

，
由Sn=A

a

2 n

+Ban+C恒成立，
得A×

a 2 1

q2

×q2n+(B×

a1

q

-

a1

q-1

)×qn+C+

a1

q-1

=0对于一切正整数n都成立
∴A=0，B=

q

q-1

≠1或

1

2

或0，C≠0，
事实上，当A=0，B≠1或

1

2

或0，C≠0时，
S_n=Ba_n+Ca1=

C

1-B

≠0，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=Ba_n-Ba_n-1，
得

an

an-1

=

B

B-1

≠0或-1
∴数列{a_n}是以

C

1-B

为首项，以

B

B-1

为公比的等比数列．

点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，探究A、B、C满足什么条件时，数列{a_n}是公比不为-1的等比数列，对数学思维能力要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．