Question

设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且(3-p)Sn+2pan=3+p(n∈N*)，p为常数，p＜-3．
（1）求证：{a_n}是等比数列，写出{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（p），无穷数列{b_n}满足：b₁=a₁，bn=

3

2

f(bn-1)，(n≥2)，求证：{

1

bn

}是等差数列，并写出{b_n}的通项公式；
（3）设cn=

1

an-an+1

，在（2）的条件下，有

lim

n→∞

(bnlgan)=lg27，求数列{c_n}的各项和．

Answer 1

分析：（1）通过(3-p)Sn+2pan=3+p(n∈N*)，通过推出

an

an-1

=

2p

3+p

，即可判断数列是等比数列．
（2）利用数列{a_n}的公比q=f（p），以及bn=

3

2

f(bn-1)，(n≥2)，求出b_n，即可．
（3）设cn=

1

an-an+1

，在（2）的条件下，推出3lg

2p

3+p

=lg27，求出p，然后求出数列{c_n}的各项和．

解答：解：（1）（3-p）S_n+2pa_n=3+p，p为常数，且p＜-3，n∈N*．
所以（3-p）S_n-1+2pa_n-1=3+p，（n≥2），两式相减得：（3-p）a_n+2pa_n-2pa_n-1=0  （n≥2）
即：（3+p）a_n=2pa_n-1  （n≥2），所以 

an

an-1

=

2p

3+p

（n≥2）--------------------------2分
当n=1时，（3-p）a₁+2pa₁=3+p，a₁=1，故数列{a_n}是等比数列-----------------------2分
a_n=（

2p

3+p

）^n-1--------------------------------------------2分
（2）数列{a_n}的公比q=f（p），q=f（p）=

2p

3+p

，b₁=a₁，b_n=

3

2

f（b_n-1），（n≥2），
所以b_n=

3

2

?

2bn

3+bn

=

3bn

3+bn

，所以

1

bn

=

3+bn

3bn

=

1

bn

+

1

3

，

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

，b₁=a₁=1------------------3分
数列{

1

bn

}是等差数列，

1

bn

=1+

1

3

（n-1）=

n+2

3

，所以b_n=

3

n+2

；----------------2分
（3）因为a_n-a_n+1=（

2p

3+p

）^n-1-（

2p

3+p

）ⁿ=（

2p

3+p

）^n-1[1-

2p

3+p

]=

3-p

3+p

(

2p

3+p

)n-1
由cn=

1

an-an+1

=

3+p

3-p

(

3+p

2p

)n-1
因为lga_n=lg（

2p

3+p

）^n-1=（n-1）lg

2p

3+p

，
b_nlga_n=

3(n-1)

n+3

lg

2p

3+p

lim

n→∞

（b_nlga_n）=

lim

n→∞

[

3(n-1)

n+3

lg

2p

3+p

]=3lg

2p

3+p

因为

lim

n→∞

(bnlgan)=lg27，所以3lg

2p

3+p

=lg27，p=-9----------------3分
所以c_n=-

1

2

（

1

3

）^n-1，故{c_n}的各项和为S=

- 1 2

1- 1 3

=-

3

4

．----------------2分．

点评：本题考查数列的判断，数列通项公式的求法，前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，转化思想的应用．