Question

已知命题p：函数f（x）=（a-

3

2

）^x是R上的减函数，命题q：关于x的方程x²-ax+1=0有实数根．若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：集合

分析：若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，得p真q假或p假q真，结合指数函数和二次函数的性质，得不等式组从而求出a的范围．

解答： 解：因为函数f(x)=(a-

3

2

)x是R上的减函数，
所以0＜a-

3

2

＜1得

3

2

＜a＜

5

2

因为方程x²-ax+1=0有实数根，
所以△=a²-4≥0，
即a≥2或a≤-2，
∵p且q为假，p或q为真，
∴p、q一真一假． 
当p真q假得，

3 2 ＜a＜ 5 2 -2＜a＜2

，
解得

3

2

＜a＜2
当p假q真得，

a≤ 3 2 或a≥ 5 2 a≥2或a≤-2

，
解得a≥

5

2

或a≤-2，
综上所得，a的取值范围是

3

2

＜a＜2或a≥

5

2

或a≤-2．

点评：本题考查了复合命题的判断，结合真值表以及指数函数和二次函数的性质是解题的关键．