题目内容
设a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，m+n≤1．
（Ⅰ）求证：
+
≥（a+b）2；
（Ⅱ）对于任意实数t，求证：（
+
）t2-2（a+b）t+（m+n）≥0恒成立．
（Ⅰ）求证：
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
（Ⅱ）对于任意实数t，求证：（
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
考点：不等式的证明
专题：不等式的解法及应用
分析：本题（1）利用柯西不等式，结合m+n≤1，可得出结论；（2）构造关于t的二次函数，利用函数的图象特征，得到函数值非负，即得到本题结论．
解答：
证明：（Ⅰ）∵a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴(m+n)(
+
)≥(
+
)2=（|a|+|b|）2≥（a+b）2，
∴
+
≥
(a+b)2．
∵m+n≤1，
∴
≥1．
∴
+
≥（a+b）2；
（Ⅱ）记f（t）=（
+
）t2-2（a+b）t+（m+n），
∵a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴抛物线y=f（t）的图象开口向上．
抛物线y=f（t）对应方程根的差别式为：
△=[-2(a+b)]2-4(
+
)(m+n)
=4[2ab-(
a2+
b2)]．
∵
a2+
b2≥2
=2ab．
∴△≤0．
∴对于任意实数t，抛物线y=f（t）的函数值非负，即f（t）≥0，
∴（
+
）t2-2（a+b）t+（m+n）≥0恒成立．
∴(m+n)(
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
m×
|
n×
|
∴
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
| 1 |
| m+n |
∵m+n≤1，
∴
| 1 |
| m+n |
∴
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
（Ⅱ）记f（t）=（
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
∵a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴抛物线y=f（t）的图象开口向上．
抛物线y=f（t）对应方程根的差别式为：
△=[-2(a+b)]2-4(
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
=4[2ab-(
| n |
| m |
| m |
| n |
∵
| n |
| m |
| m |
| n |
|
∴△≤0．
∴对于任意实数t，抛物线y=f（t）的函数值非负，即f（t）≥0，
∴（
| a2 |
| m |
| b2 |
| n |
点评：本题考查了柯西不等式和构造法证明不等式，有一定的思维量，属于中档题．
练习册系列答案
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