Question

对于任意实数x，y，总有f（xy）-f（x）=f（y）（xy≠0），求证：
（1）f（1）=0；
（2）f（

1

x

）=-f（x）；  
（3）f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件，令x=y=1，即可求出f（1）；
（2）令xy=1，则y=

1

x

，结合（1），即可得证；
（3）由（2）得，f（

1

y

）=-f（y），再由条件即可得证．

解答： 证明：（1）由于任意实数x，y，总有f（xy）-f（x）=f（y）（xy≠0），
令x=y=1，得f（1）-f（1）=f（1），即f（1）=0；
（2）令xy=1，则y=

1

x

，则f（1）-f（x）=f（

1

x

），由于f（1）=0，
则f（

1

x

）=-f（x）；
（3）由（2）得，f（

1

y

）=-f（y），
则f（x•

1

y

）-f（x）=f（

1

y

）=-f（y）．
即f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．