Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{m}-\frac{1}{x-1}$
（1）求证函数f（x）是（1，+∞）增函数；
（2）若函数f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（1＜a＜b），求实数m的取值范围；
（3）若任意x∈[$\frac{3}{2}$，4]，不等式f（x）＞x恒成立，求实数m的取值范围．
（4）若存在x∈[$\frac{3}{2}$，4]，使不等式f（x）＞x成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断导数的符号，即可得证；
（2）运用单调性，可得f（a）=2a，f（b）=2b，可得a，b为方程2x²-mx+1=0的两个不等的正根，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到所求范围；
（3）任意x∈[$\frac{3}{2}$，4]，不等式f（x）＞x恒成立，即为$\frac{1}{m}$≥x+$\frac{1}{x-1}$的最大值，由单调性可得最大值；
（4）存在x∈[$\frac{3}{2}$，4]，使不等式f（x）＞x成立，即为即为$\frac{1}{m}$≥x+$\frac{1}{x-1}$的最小值，运用单调性即可得到所求范围．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\frac{1}{m}-\frac{1}{x-1}$（x＞1），
∴f′（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
即f（x）在（1，+∞）为增函数；
解：（2）由f（x）在（1，+∞）为增函数，可得
f（a）=2a，f（b）=2b，
即有$\frac{1}{m}-\frac{1}{a-1}$=2a，$\frac{1}{m}-\frac{1}{b-1}$=2b，
即a，b为方程$\frac{1}{m}-\frac{1}{x-1}=2x$，即方程2mx²-（2m+1）x+（m+1）=0的两个不等的大于1的根，
则△=（2m+1）²-8m（m+1）＞0，$\frac{2m+1}{4m}$＞1，2m-（2m+1）+（m+1）＞0
解得：0＜m＜$\frac{1}{2}$；
（3）任意x∈[$\frac{3}{2}$，4]，不等式f（x）＞x恒成立，
即为$\frac{1}{m}$≥x+$\frac{1}{x-1}$的最大值，由x+$\frac{1}{x-1}$的导数为1+$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＞0，
可得[$\frac{3}{2}$，4]为增区间，即有最大值为4+$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{3}$，
则有0＜m≤$\frac{3}{13}$；
（4）存在x∈[$\frac{3}{2}$，4]，使不等式f（x）＞x成立，
即为$\frac{1}{m}$≥x+$\frac{1}{x-1}$的最大小值，由x+$\frac{1}{x-1}$的导数为1+$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＞0，
可得[$\frac{3}{2}$，4]为增区间，即有最小值为2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
则有0＜m≤$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查函数的值域的求法，注意运用单调性解决，考查不等式恒成立和成立问题的解法，属于中档题．