Question

19．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{xy}$+$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$=2，则x+2y的最小值为8．

Answer 1

分析 根据x＞0，y＞0，且$\frac{1}{xy}$+$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$=2，得出（x-1）（2y-3）=4，2y-3＞0，x-1＞0，x+2y=（x-1）+（2y-3）+4，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：∵$\frac{1}{xy}$+$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$=2，
∴1+2y+3x=2xy，
∴（x-1）（2y-3）=4，
∴x-1=$\frac{4}{2y-3}$＞-1，
∴$\frac{2y+1}{2y-3}$＞0，
∵y＞0，
∴2y-3＞0，
∴x-1＞0，
x+2y=（x-1）+（2y-3）+4≥2$\sqrt{（x-1）（2y-3）}$+4=8，当且仅当x-1=2y-3时，取等号，
∴x+2y的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生转化问题的能力，正确变形是关键．