Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为x+2y-4=0．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则2=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$1=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k．代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1．相减化简整理即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则2=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$1=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k．
代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{4}$=0，
∴$\frac{4}{16}+\frac{2k}{4}$=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的方程为：y-1=$-\frac{1}{2}$（x-2），
化为：x+2y-4=0．
故答案为：x+2y-4=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．