Question

2．已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和S_n满足$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}+1$（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：${b_n}={a_n}•{2^{\frac{{{a_n}-1}}{2}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得a_n；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}+1$（n∈N₊）．
∴当n=1时，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}各项均为正数，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=2n-1．
（2）${b_n}={a_n}•{2^{\frac{{{a_n}-1}}{2}}}$=（2n-1）•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．