Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，A=$\frac{π}{6}$，D为AC延长线上一点，且CD=$\sqrt{3}+1$．
（Ⅰ）求∠BCD的大小；
（Ⅱ）求BD，AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=2，A=$\frac{π}{6}$，BC=$\sqrt{2}$，
由正弦定理可得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sinA}$，
即$\frac{2}{sin∠ACB}=\frac{\sqrt{2}}{sin\frac{π}{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，
所以sin$∠ACB=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
因为∠ACB为钝角，所以∠ACB=$\frac{3π}{4}$．  
∴∠BCD=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD²=CB²+2CB．DC．cos∠BCD，
即BD²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}+1$）²-2$\sqrt{2}$．（$\sqrt{3}+1$）．cos$\frac{π}{4}$，
整理得BD=2．
在△ABC中，由余弦定理可知BC²=+AB²⁺AC²-2AB．AC．cosA，
即（$\sqrt{2}$）²=2²+AC²-2.2．AC．cos$\frac{π}{6}$，
整理得AC²-2$\sqrt{3}$AC+2=0．解得AC=$\sqrt{3}±1$．
因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以AC=$\sqrt{3}$-1．…（12分）

点评 本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用，属于中档题．